風邪といっても、ヘルペスウイルスによるものや、クラミジアによるもの、マイコプラズマによるものなどで、原因が違います。
やはりお薬（抗ウイルス薬や抗生物質）を飲ませたり、点眼しないと治らないでしょう。
家での看護ですが、温かくすることは基本ですが、それで良くなる可能性は低いかも・・・